2005. szeptember 20.

1. Van-e a kilencedik egységgyökök között pontosan hat, melyek öszege 0? És hét?
2. Bizonyítsuk be, hogy az 1995-ik egységgyökök között van 876, melyek öszege 0.
3. A $z$ komplex számra $1+z+z^2=0$. Igazoljuk, hogy $z^{65}+z^{-65}=i^{66}$.
4. Mi a mértani helye a komplex számsíkon a $\frac{1+ti}{1-ti}$ alakú számoknak, ha $t$ befutja a valós számok halmazát? Ugyanez a kérdés $\frac{1+ti}{t+i}$-vel?
5. Igazoljuk, hogy ha $z+\frac{1}{z}=2\cos\theta$, akkor $z^m+\frac{1}{z^m}=2\cos m\theta.$
6. Fejezzük ki $\cos\alpha$ és $\sin\alpha$ segítségével $\cos n\alpha$-t.

7. Adjunk zárt alakot:
   1. $1-{n\choose 2}+{n\choose 4}-{n\choose 6}+\ldots$
   2. ${n\choose 1}-{n\choose 3}+{n\choose 5}-{n\choose 7}+\ldots$

8. Legyen $\varepsilon$ egy $2n$-edik primitív egységgyök. Számítsuk ki: $1+\varepsilon+\varepsilon^2+\ldots+\varepsilon^n$-t.

9. Oldjuk meg Gauss-eliminációval az alábbi egyenletrendszereket:
   $$\begin{array}{rlrl} \mathrm{(a)}& \begin{array}[t]{rcr} a+3b... ...1\\ a-2b+2c-d&=&-1\\ -3a+b+c+2d+e&=&1\end{array}\end{array}$$

10. Mi az összefüggés $A\underline{x}=0$ és $A\underline{x}=\underline{b}$ megoldásai között?
11. Legyen $\underline{a}=(7,-5,1)$ és $\underline{b}=(8,13,6)$. Bontsuk fel $\underline{b}$-t egy $\underline{a}$-val párhuzamos és egy $\underline{a}$-ra merőleges összetevőre.
12. (*) Milyen $m$ és $n$ esetén lesz az alábbi ($n\times n$-es) egyenletrendszernek egyértelmű megoldása?
    

    $$x_1+x_2+\cdots +\ \ \ x_m = 1$$

    $$x_2+x_3+\cdots +x_{m+1} = 1$$

    $$\vdots\ \ \ \ \ \vdots\ \ \ \ \ \vdots\ \ \ \ \$$

    $$x_n+x_1+\cdots +x_{m-1} = 1$$

    
    

13. (*) Ákos és Bálint egy pénzdarabot dobálnak, a fejdobás valószínűsége $p$. Ákos az $FFI$, Béla az $II$ sorozatra vár. Mekkora a valószínűsége, hogy Ákos sorozata következik be előbb?
14. (*) Ákos és Bálint most (egymástól függetlenül) gondol 5-5 egész számot. Ákos megkérdezheti a Bálint által gondolt számok közül bármely kett összegének a paritását, Bálint pedig Ákos számai közül bármely három összegének paritását tudakolhatja meg. Ki tudja-e találni valamelyikük a másik által gondolt számok mindegyikének a paritását, és ha igen, akkor minimálisan hány kérdéssel tudja ezt megtenni?
15. Legyen adott az $\{1,2,\ldots ,n\}$ halmaz néhány részhalmaza $A_1,A_2,\ldots ,A_m$. Mekkora lehet $m$, ha $A_i\cap A_j\ne\emptyset$?
16. Definiáljuk egy $A$ halmaz $\underline{k}_A$ karakterisztikus vektorát úgy, hogy az $i$-ik koordinátája 1, ha $i\in A$, 0 egyébként. Hogyan kahatók meg a karakterisztikus vektorok segítségével a halmazok, illetve a páronkénti metszetek elemszámai?
17. (*) Bizonyítsuk be, hogy ha $\vert A_i\cap A_j\vert=k$ minden $1\le i<j\le m$-re, akkor $m\le n$. Segítség: Lássuk be először arra az esetre, ha van $i$, melyre $\vert A_i\vert=k$. Ha ilyen nincs, akkor lássuk be, hogy a karakterisztikus vektorok lineárisan függetlenek.
18. (**) $k=1$ esetén hogy lehet $m=n$?